Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры - Алекс Беллос

Для того чтобы понять изложенные ниже разъяснения, мы должны иметь определенное представление о координатной геометрии (о концепции градиента, например), а также об основных свойствах логарифмов. Кроме того, нам необходимо принять как истинное следующее утверждение.

(1) На координатной плоскости, где горизонтальная и вертикальная оси обозначаются как х и у, все прямые линии могут быть описаны уравнением y = mx + c, где m — это градиент прямой, а с — точка, в которой эта прямая пересекает вертикальную ось.

Итак, начнем с уравнения:

Возьмем логарифм от обеих его частей:

Согласно свойствам логарифмов, мы можем записать это уравнение в таком виде:

log y = log k — logx^a

Или так:

log y = log k — a log x

Если log y = Y, а log x = X, то это уравнение можно записать следующим образом:

Y= —aX + log k

Исходя из представленного выше предположения (1), мы знаем, что на координатной плоскости, где Х — это горизонтальная ось, а Y — вертикальная, это прямая с градиентом — а, пересекающая вертикальную ось в точке log k.

Поскольку Х = log x, а Y = log y, этот график отображен в двойном логарифмическом масштабе, а так как градиент отрицательный, можно сделать вывод, что прямая должна быть наклонена влево.

Аналогичным образом представьте себе прямую с уклоном влево в двойном логарифмическом масштабе. Согласно предположению (1), ее можно описать таким уравнением:

log y = —log x + c

(Поскольку прямая наклонена влево, можно сказать, что она имеет отрицательный градиент.)

Если c = log k, это дает уравнение:

log y = —a log x + log k

или

log y = log k — a log x

Воспользовавшись свойствами логарифма, это уравнение можно преобразовать так:

log y = log k — log x^a

Или так:

Что означает следующее:

Что и требовалось доказать.

Дополнительный вывод состоит в том, что уравнение y = kx^a описывает прямую с уклоном вправо в логарифмическом масштабе, а любая такая прямая может быть представлена данным уравнением.