Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир - Андрей Райгородский
Книгу Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир - Андрей Райгородский читаем онлайн бесплатно и без регистрации! Читать онлайн вы можете не только на компьютере, но и на андроид (Android), iPhone и iPad. Наслаждайтесь!
223 0 08:43, 26-05-2019
Книга Кому нужна математика? Понятная книга о том, как устроен цифровой мир - Андрей Райгородский читать онлайн бесплатно без регистрации
Возьмем простое число р. В реальности оно должно быть огромным, но для примера выберем маленькое простое число 19. Теперь выберем еще одно число g, тоже целое, но необязательно простое и меньше р. Например, g = 2.
Числа р и g знают все: и Алиса, и Боб, и даже Ева. Теперь Алиса выбирает число х, например x = 6, и хранит его в тайне. Боб выбирает число у, скажем y = 8, и тоже никому его не сообщает.
Дальше начинается шифрование. Алиса находит остаток от деления на р числа gх:
26 = 64,
64÷19 = 3 и 7 в остатке.
Боб делает то же самое со своим задуманным числом:
28 = 256,
256÷19 = 13 и 9 в остатке.
Итак, наше преобразование выглядит следующим образом: возвести 2 в степень х и взять остаток от деления на 19. Мы изобразили это преобразование в общем виде на рис. 6.3. Напомним, что числа g и р известны, а число х выбрала Алиса.
Рис. 6.3. Преобразование по схеме Диффи – Хеллмана x → f (x). Числа g и р известны, а число х выбрала Алиса
Здесь принципиально важно, что р простое число, а g меньше р, потому что в этом случае gх на р не делится, то есть остаток от деления не может быть нулем. Есть и более глубокие причины, почему р должно быть простым. Кроме того, для заданного р есть набор «подходящих» g[16].
Получив остаток от Боба, Алиса возводит его в степень х и снова берет остаток от деления на р. В нашем маленьком примере Алиса получила от Боба число 9, а Боб от Алисы число 7. Тогда у Алисы получается:
[остаток от деления 96 на 19] = 11.
Боб действует аналогично. Он получил остаток от Алисы, и у него есть известный ему одному у (даже Алиса его не знает!). Он возводит полученный от Алисы остаток в степень у и снова берет остаток от деления на р:
[остаток от деления 78 на 19] = 11.
Это то же самое число 11, что и у Алисы!
Естественно, это неслучайно. Математически нетрудно показать, что Алиса и Боб получат одинаковое число при любых р, g, x, и у[17].
Вычисление f(x) по схеме Диффи – Хеллмана – сравнительно быстрая операция, которую можно осуществить и на домашнем компьютере, даже если р огромное, скажем стозначное число. Тем не менее лучшие математики мира вот уже несколько десятилетий бьются над построением алгоритма, который, наоборот, по остатку от деления на р выдавал бы значение х. И ничего не получается!
Самые быстрые алгоритмы работают месяцы, даже будучи параллельно запущенными на тысячах мощных компьютеров по всему миру. Ниже мы расскажем о совсем недавней наиболее успешной попытке решения. Но, как мы увидим, этот метод тоже не «быстрый», а скорее «в принципе выполнимый» и сильно опирается на конкретную имплементацию шифра.
Конечно, это не значит, что по-настоящему быстрого алгоритма не существует. Но задача оказалась настолько сложной, что схема очень активно используется на практике, и если выбрать число р по-настоящему большим, то можно не бояться взлома шифра.
В нашем маленьком примере у Алисы и Боба после открытого обмена сообщениями появился общий секретный ключ, число 11. С его помощью Алиса и Боб могут спокойно зашифровывать и расшифровывать сообщения и передавать их друг другу. Но Еве этот ключ не заполучить, потому что она не сможет вычислить ни x, ни у.
Красота схемы в том, что Алиса и Боб обмениваются ключами через открытый канал. Ева может перехватить все сообщения до одного, но ей это ничего не даст!
Именно поэтому подобные схемы называются «открытым обменом ключами». Нет никакого секрета в том, как работают эти схемы. При этом несанкционированная расшифровка ваших сообщений – проблема посложнее «Энигмы». Секретность без секретов.
На практике часто используется еще одна схема открытого обмена ключами – алгоритм RSA, названный так по первым буквам имен своих авторов: Ривеста, Шамира, Адлемана (Rivest, Shamir, Adleman). Для интересующегося читателя ниже во врезке мы кратко объясняем основной принцип его работы. Если вы не хотите вдаваться в детали, можете пропустить этот текст.
Алгоритм RSA
Алиса может выбрать не одно число, а сразу пару чисел р, q. Можно считать, что p и q – простые. Возьмем очень простое преобразование
n = p × q.
Это довольно быстрая операция – обычное умножение. Однако если вам дано натуральное число n и даже известно, что n = p × q с некоторыми простыми р и q, которых вы не знаете, то восстановить эти простые числа вам не удастся! Вернее, на это уйдут годы, коль скоро п достаточно велико. Вот такие чудеса! Принцип здесь тот же самый. Для вычисления п используется простое умножение, это очень быстрая операция. А вот обратный процесс, операция разложения на множители, носит в математике красивое имя факторизация (от англ. factor – сомножитель) и представляет собой большую проблему с точки зрения вычислений.
Добавим, что операцию разложения на множители легко выполнить на квантовом компьютере. Но пока у таких компьютеров очень ограниченный регистр, то есть они могут работать только с относительно маленькими числами. Для шифрования на практике используются очень большие числа. Поэтому на данный момент квантовые компьютеры особой угрозы не представляют.
Схемы типа Диффи – Хеллмана и RSA работают довольно медленно, в отличие от так называемых симметричных криптосистем, которые гораздо быстрее. Но они пользуются ключом, который нужно хранить в тайне. В определенном смысле это аналоги «Энигмы». Они шифруют с помощью ключа и большого количества сложных преобразований, и знание ключа необходимо для расшифровки.
Итак, у нас есть быстрые схемы, для которых нужен ключ, и медленные – для обмена ключами. Поэтому обычно сессия безопасного соединения через интернет состоит из двух этапов.
Прочитали книгу? Предлагаем вам поделится своим впечатлением! Ваш отзыв будет полезен читателям, которые еще только собираются познакомиться с произведением.
Уважаемые читатели, слушатели и просто посетители нашей библиотеки! Просим Вас придерживаться определенных правил при комментировании литературных произведений.
Просьба отказаться от дискриминационных высказываний. Мы защищаем право наших читателей свободно выражать свою точку зрения. Вместе с тем мы не терпим агрессии. На сайте запрещено оставлять комментарий, который содержит унизительные высказывания или призывы к насилию по отношению к отдельным лицам или группам людей на основании их расы, этнического происхождения, вероисповедания, недееспособности, пола, возраста, статуса ветерана, касты или сексуальной ориентации. Просьба отказаться от оскорблений, угроз и запугиваний. Просьба отказаться от нецензурной лексики. Просьба вести себя максимально корректно как по отношению к авторам, так и по отношению к другим читателям и их комментариям.
Надеемся на Ваше понимание и благоразумие. С уважением, администратор My-Books.me.
Оставить комментарий
-
Александра15 январь 09:37
Очень интересная книга! Особенно, если любишь психологию и хочешь понимать себя и других. Обязательно послушаю до конца. Спасибо....
Кригер Борис – Гнев
-
Галина25 май 13:02
Очень уважаю Артема Шейнина, книга замечательная, очень мне близкая по духу.Перечитываю уже второй раз, столько пережитого и не...
Мне повезло вернуться - Артем Шейнин
-
Екатерина11 январь 08:05
Доброе утро. Подскажите пожалуйста как сохранять книги, ставить закладки?...
Подонок - Анастасия Леманн
